Egy mátrix az $\left\{a_{ij};i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,m;j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,n\right\}$ elemek alábbi elrendezése, ahol az elemek általában számok vagy függvények:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{n2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ (F.1)

Az A mátrix tömör megadása:

$A=\left[a_{ij}\right]{}_{m\times n}$ (F.2)

ahol $a_{ij}$ az i-edik sor j-edik eleme. Egy m×1 mátrix egy oszlopvektor. Az $a_i$ vektor az A mátrix i-edik (i=1, 2, …, n) oszlopvektora. Egy A mátrix felírható az oszlopvektorai segítségével:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \dots & a_n\end{array}\right]$ (F.3)

Mátrixok összeadása, konstanssal való szorzása

Ha az A és B mátrixok mérete azonos (m×n), akkor értelmezhető a két mátrix összeadása:

$C=A+B\text{ ahol }{c}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ (F.4)

Az összeadás kommutatív:

$A+B=B+A$ (F.5)

Egy mátrix skalárral való szorzása a mátrix elemeinek skalárral való szorzását jelenti:

$B=kA$ ahol $b_{ij}=k{a}_{ij}$ (F.6)

Mátrixok szorzása

Ha A egy (m×p)-s mátrix és B egy (p×n)-es mátrix, akkor a két mátrix összeszorozható. A C szorzatmátrix egy (m×n)-es mátrix lesz:

$C=AB\text{ ahol }{c}_{ij}={\displaystyle \sum _{k=1}^p{a}_{ik}{b}_{kj}}\forall i,j-re$ (F.7)

A szorzás nem kommutatív, tehát általában:

$AB\ne BA$ (F.8)

A szorzás asszociatív:

$ABC=A\left(BC\right)=\left(AB\right)C$ (F.9)

A mátrix transzponáltja

Egy A mátrix transzponáltja az a B=A^T mátrix melynek elemeire igaz, hogy:

$b_{ij}=a_{ji}\forall i\text{,}j\text{-re}$ (F.10)

A transzponált mátrixokra fennállnak a következő összefüggések:

$\begin{array}{l}{\left(A^T\right)}^T=A\\ {\left(AB\right)}^T=B^T{A}^T\\ {\left(A+B\right)}^T=A^T+B^T\end{array}$ (F.11)

Szimmetrikus mátrix, diagonálmátrix, egységmátrix

Legyen A egy (n×n)-es mátrix. Ha A=A^T, akkor az A mátrix szimmetrikus. Ha $a_{ji}=\text{0 }\forall i\ne j\text{-re}$ , akkor A diagonálmátrix.

$A=\text{diag}\left(a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}\right)$ (F.12)

Ha a diagonálmátrix minden diagonális eleme egységnyi, akkor a mátrix az egységmátrix.

$I=\text{diag}\left(\mathrm{1,}\mathrm{1,}\dots ,1\right)$ (F.13)

Az egységmátrixszal végzett szorzásra igaz, hogy

$AI=IA=A$ (F.14)

A mátrix determinánsa

Az A (n×n)-es kvadratikus mátrix determinánsa $\left|A\right|$ , melyet (az első sor szerint kifejtve) a következőképpen kapunk meg:

$\begin{array}{l}\left|A\right|=a_{11}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n2}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|-a_{12}\left|\begin{array}{cccc}{a}_{21}& a_{23}& \cdots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{33}& \cdots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n3}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|\\ \\ +a_{13}\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{21}& a_{22}& a_{24}& \dots & a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{34}& \dots & a_{3n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& a_{n4}& \dots & a_{nn}\end{array}\right|-\cdots \end{array}$ (F.15)

Szinguláris mátrix, a mátrix inverze, pszeudoinverz

Legyen A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix. A mátrix szinguláris, ha $\left|A\right|=0.$ Ha a kvadratikus mátrix nemszinguláris, akkor és csak akkor létezik egy olyan B mátrix melyre

$AB=BA=I$ (F.16)

A $B=A^{-1}$ mátrixot az A mátrix (multiplikatív) inverzének nevezzük [Pen55].

Fontos tulajdonságok az inverzre:

$\begin{array}{l}{\left(\alpha \text{A}\right)}^{-1}={\alpha }^{-1}{A}^{-1}\\ {\left(A^{-1}\right)}^T={\left(A^T\right)}^{-1}\\ \text{Ha }{A}_{\text{1}}\text{ és }{A}_{\text{2}}\left(n\times n\right)\text{-es nemszinguláris mátrixok}\text{, }\\ \text{akkor }{\left(A_{\text{1}}{A}_{\text{2}}\right)}^{-1}={\left(A_{\text{2}}\right)}^{-1}{\left(A_{\text{1}}\right)}^{-1}\end{array}$ (F.17)

Minden $A\in R^{m\times n}$ mátrixhoz létezik egy egyértelmű $A^{\text{†}}$ mátrix, melyet az A mátrix pszeudoinverzének vagy Moore–Penrose inverzének nevezünk. A pszeudoinverzre a következő összefüggések teljesülnek:

$\begin{array}{l}A{A}^{\text{†}}A=A\\ A^{\text{†}}A{A}^{\text{†}}=A^{\text{†}}\\ {\left(A{A}^{\text{†}}\right)}^T=A{A}^{\text{†}}\\ {\left(A^{\text{†}}A\right)}^T=A^{\text{†}}A\end{array}$ (F.18)

Ha A nemszinguláris, kvadratikus mátrix, akkor a pszeudoinverz megegyezik a mátrix inverzével, vagyis: $$ $A^{\text{†}}=A^{-1}$ .

Ha $A^{T}A$ vagy $A{A}^T$ nemszinguláris, a pszeudoinverz definiálható mint:

$A^{\text{†}}={\left(A^{T}A\right)}^{-1}{A}^T$ (F.19)

illetve, mint

$A^{\text{†}}=A^T{\left(A{A}^T\right)}^{-1}$ (F.20)

Az előbbi esetben szokás a mátrix pszeudoinverzét az alábbi módon is definiálni:

$A^{\text{†}}=\underset{\upsilon \to 0}{\text{lim}}{\left(A^{T}A+{\upsilon }^{2}I\right)}^{-1}{A}^T$ , (F.21)

míg az utóbbi esetben az alábbi definíció alkalmazható:

$A^{\text{†}}=\underset{\upsilon \to 0}{\text{lim}}{A}^T{\left(A{A}^T+{\upsilon }^{2}I\right)}^{-1}$ (F.22)

Néhány hasznos összefüggés a pszeudoinverzre:

$\begin{array}{l}{\left(A^{\text{†}}\right)}^{\text{†}}=A\\ {\left(\alpha A\right)}^{\text{†}}={\alpha }^{\text{-1}}{A}^{\text{†}}\\ {\left(A^{\text{†}}\right)}^T={\left(A^T\right)}^{\text{†}}\\ A{A}^T{\left(A^{\text{†}}\right)}^T=A\\ A^{\text{†}}A{A}^T=A^T\\ {\left(A^{\text{†}}\right)}^T{A}^{T}A=A\\ A^{T}A{A}^{\text{†}}=A^T\end{array}$ (F.23)

Mátrix inverziós lemma

A Sherman-Morrison-Woodbury formula számos esetben hasznos lehet $\left(A+BC\right)$ inverzének meghatározásánál, amennyiben $A$ és $\left(I+C{A}^{-1}B\right)$ nemszingulárisak.

${\left(A+BC\right)}^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B{\left(I+C{A}^{-1}B\right)}^{-1}C{A}^{-1}$ (F.24)

Vektorok lineáris függetlensége

Legyen egy $a_1,a_2,\dots ,a_n$ , $a_i\in R^m$ vektorkészletünk az és legyenek α₁, α₂, …, α_n skalárok.

A $c={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\alpha }_i}{a}_i$ vektort az $\left\{a_i\right\}$ vektorok lineáris kombinációjának nevezzük. Az $\left\{a_i\right\}$ vektorok lineárisan függetlenek, ha a c=0 akkor és csak akkor áll fenn, ha ${\alpha }_i=0\forall i-re$ .

Egy $A\in R^{m\times n}$ mátrix oszlopvektorai akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha $A^{T}A$ nemszinguláris, a sorvektorai pedig akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha $A{A}^T$ nemszinguláris.

A mátrix rangja

Az $A$ mátrix rangja a maximális számú lineárisan független oszlopvektorainak a száma, vagy alternatív definícióként a maximális számú lineárisan független sorvektorainak a száma.

Egy $A$ (m×n)-es mátrix teljes rangú, ha

rang(A)=min{m,n}. (F.25)

Megmutatható, hogy egy tetszőleges A mátrixra

$\text{ rang(}A\text{)}=\text{rang(}{A}^T\text{)}=\text{rang(}{A}^{T}A\text{)}=\text{rang(}A{A}^T\text{)}$ (F.26)

Egy A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix akkor és csak akkor nemszinguláris, ha teljes rangú, vagyis rang(A)=n.

Sajátértékek, sajátvektorok

Legyen A egy (n×n)-es kvadratikus mátrix. Ha létezik olyan λ skalár és olyan nemzérus v vektor, melyre fennáll. hogy

$Av=\lambda v$ (F.27)

akkor λ-t a mátrix sajátértékének, v-t pedig a megfelelő sajátvektornak nevezzük.

A mátrix összes sajátértéke megkapható a

$\left|A-\lambda I\right|=0$ (F.28)

karakterisztikus polinom gyökeiként. Ha a sajátértékek egyszeres gyökök, akkor minden sajátértékhez egy sajátvektor-készlet tartozik, melynek elemei csak egy nullától különböző szorzóban térnek el egymástól. Többszörös gyökök esetén egy sajátértékhez több sajátvektor is tartozhat. Ezek a sajátvektorok nem konstans szorzóban különböznek. Diagonálmátrix sajátértékei maguk a főátlóban lévő elemek.

Ha az A mátrix nemszinguláris, akkor összes sajátértéke nullától különböző és a mátrix inverzének sajátértékei a mátrix sajátértékeinek reciprokai.

Egy szimmetrikus mátrix sajátértékei mind valós számok. A szimmetrikus mátrix sajátvektorai ortogonális vektor-készletet alkotnak, vagyis

$\begin{array}{l}{v}_i^T{v}_j^{}=0\text{ ha }i\ne j\\ v_i^T{v}_i^{}\ne 0\end{array}$ (F.29)

A maximális és minimális sajátértékekre fennállnak az alábbi összefüggések (Rayleigh hányados)

${\lambda }_{\text{max}}\left(A\right)=\underset{v\ne 0}{\text{max}}\frac{v^{T}Av}{v^{T}v}\text{és }{\lambda }_{\text{min}}\left(A\right)=\underset{v\ne 0}{\text{min}}\frac{v^{T}Av}{v^{T}v}$ (F.30)

Ha egy A szimmetrikus mátrix minden sajátértéke szigorúan pozitív (λ_i > 0 , i=1, 2, …, n), a mátrix pozitív definit. Ha a sajátértékek nemnegatívak, akkor a mátrix pozitív szemidefinit. A mátrix nemdefinit, ha van legalább egy pozitív és legalább egy negatív sajátértéke.

Ha A egy olyan mátrix, hogy $A^{T}A=A{A}^T$ , akkor a mátrix az alábbi szorzat formájában előállítható:

A=VΛV^T (F.31)

ahol V a mátrix sajátvektoraiból, mint oszlopvektorokból képezett ortogonális mátrix, Λ pedig a sajátértékek diagonálmátrixa.

A mátrix nyoma

Egy kvadratikus A (n×n)-es mátrix nyoma a főátlóbeli elemeinek az összege. A mátrix nyoma a sajátértékeinek összegeként is meghatározható.

$\text{tr}\left(A\right)={\displaystyle \sum _{i=1}^n{a}_{ii}}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\lambda }_i}$ (F.32)