A 14. fejezetben hivatkoztunk a lineáris Gauss-eloszlások családjának egy alaptulajdonságára: az eloszláscsalád zárt a standard Bayes-hálóbeli műveletekre. Most ezt az állítást pontosítjuk az időbeli valószínűségi modellben végzett szűrés esetére. A megkövetelt tulajdonságok megfelelnek a szűrés (15.3) egyenletben megadott kétlépéses számításának:

szintén Gauss-eloszlás.

P(Xt+1|e1:t+1) = αP(et+1|Xt+1)P(Xt+1|e1:t) (15.16)

szintén Gauss-eloszlás.

Így a Kalman-szűrés ELŐRE művelete fogad egy _t átlaggal és _t kovarianciamátrixszal meghatározott f_1:t Gauss előre üzenetet, és előállít egy új többváltozós f_1:t+1 Gauss előre üzenetet μ_t+1 átlaggal és Σ_t+1 kovarianciamátrixszal. Így, ha egy f_1:0= P(X₀) = N(μ₀, Σ₀) Gauss-eloszlással indulunk, egy lineáris Gauss-modellel való szűrés az állapotokon Gauss-eloszlást eredményez minden időpontban.

Azt állítottuk, hogy a Kalman-szűrés ELŐRE művelete egy Gauss-eloszlást egy új Gauss-eloszlásba visz át. Ez új átlag- és kovarianciamátrix kiszámítását jelenti az előző átlagból és kovarianciamátrixból. Az általános (többváltozós) eset frissítési szabályának származtatása igen sok lineáris algebrai lépést igényel, így egyelőre a nagyon egyszerű egyváltozós esetnél maradunk, és később adjuk meg az eredményeket az általános esetre. A számítások még az egyváltozós esetre is unalmasak kissé, de úgy érezzük, hogy érdemes látni őket, mivel a Kalman-szűrő hasznossága olyan szorosan kötődik a Gauss-eloszlások matematikai tulajdonságaihoz.

A tárgyalt időbeli modell egyetlen folytonos X_t állapotváltozós véletlen bolyongást (random walk) ír le egy zajos Z_t megfigyeléssel. Egy példa lehet erre a „vásárlói bizalom” mutatója, amit modellezhetünk úgy, mint ami havonként egy véletlen Gauss-eloszlású változáson megy át, és amelyet egy véletlen vásárlói kérdőív mér fel, ami szintén Gauss-mintavételi zajt okoz. Az a priori eloszlást gaussinak tételezzük fel szórásnégyzettel:

(Az egyszerűség kedvéért ebben a fejezetben ugyanazt az α szimbólumot fogjuk használni minden normalizációs állandó jelölésére.) Az állapotátmenet-modell egyszerűen a jelenlegi állapot egy Gauss-eloszlású módosítását jelenti állandó szórásnégyzettel:

Az érzékelő modell egy Gauss-eloszlású zajt tételez fel szórásnégyzettel:

Most, az a priori P(X₀) eloszlás ismeretében kiszámíthatjuk az egylépéses előrejelzés eloszlását felhasználva a (15.15) egyenletet:

Az integrál igen bonyolultnak néz ki. A továbbhaladás lehetőségét annak észrevétele jelenti, hogy a kitevő két olyan kifejezés összege, amelyek négyzetesek x0-ban, és így az maga is négyzetes x0-ban. Egy egyszerű trükk, amit teljes négyzetté kiegészítésként (completing the square) ismerünk, lehetővé teszi bármely átírását egy négyzetes tag és egy x₀-tól független maradék tag összegévé. A maradék tag az integrálból kivihető, így azt kapjuk, hogy

Most az integrál pontosan egy Gauss-eloszlás teljes tartomány feletti integrálja, ami egyszerűen 1-et ad. Így csupán a maradék tag maradt a négyzetesből.

A második kulcslépés annak észrevétele, hogy a maradék tagnak x₁-ben négyzetesnek kell lennie; valóban, egyszerűsítés után azt kapjuk, hogy

15.8. ábra - A Kalman-szűrés frissítési ciklusának a lépései egy véletlen bolyongás esetén. A véletlen bolyongás a priori eloszlása μ₀ = 0,0 és σ ₀ = 1,0, az átmenet bizonytalansága σ _x = 2,0, az érzékelő bizonytalansága σ _z = 1,0, az első megfigyelés pedig z₁ = 2,5 (az x tengelyen csillaggal jelölve).Vegyük észre, ahogy a P(x₁) előrejelzés ellapul a P(x₀)-hoz képest az átmenet bizonytalansága miatt. Vegyük azt is észre, hogy az a posteriori P(x₁|z₁) kissé balra helyezkedik el a z₁ megfigyeléstől, mivel az átlag az előrejelzés és a megfigyelés súlyozott átlaga.

Azaz az egylépéses előrejelzés eloszlása Gauss-eloszlás, ugyanazzal a μ₀ átlaggal, a szórásnégyzet pedig egyenlő az eredeti szórásnégyzetnek és az átmenet szórásnégyzetének az összegével. Egy pillanatnyi belegondolás után ez szemléletesen is elfogadhatónak tűnik.

A frissítés lépésének befejezéséhez még szükséges, hogy az első időpontbeli megfigyelést, x₁-t feltételként vegyük számításba. A (15.16) egyenletből erre az adódik, hogy

Most ismét kombináljuk a kitevőket, és négyzetté egészítsük ki (15.6 feladat), azt kapva, hogy

így egy frissítési ciklus után egy új Gauss-eloszlásunk van az állapotváltozóra.

A (15.17) egyenletben a Gauss-alakból láthatjuk, hogy az új átlag és szórás kiszámítható a régi átlagból és szórásból a következőképpen:

A 15.8. ábrán látható egy frissítési ciklus az állapotátmenet- és az érzékelő modell konkrét értékei esetén.

Az előző egyenletpár pontosan ugyanazt a szerepet játssza, mint az általános szűrés egyenlete (15.3) vagy az RMM-szűrés egyenlete (15.10). A Gauss-eloszlások speciális tulajdonsága miatt azonban az egyenleteknek van néhány további érdekes tulajdonsága. Először is, hogy az új μ_t+1 átlag kiszámítása értelmezhető úgy, mint egyszerűen az új z_t+1 megfigyelés és a régi μ_t átlag súlyozott átlaga. Ha a megfigyelés megbízhatatlan, akkor nagy, és több figyelmet szentelünk a régi átlagnak; ha a régi átlag megbízhatatlan (_t² nagy), vagy a folyamat nehezen megjósolható ( nagy), akkor több figyelmet szentelünk a megfigyelésnek. Másodszor, vegyük észre, hogy a szórásnégyzet frissítése független a megfigyeléstől. Ezért előre kiszámíthatjuk, hogy mi lesz a szórásnégyzetértékek sorozata. Harmadszor, a szórásnégyzetértékek sorozata gyorsan konvergál egy adott értékhez, ami csak -től és -től függ, ezáltal lényegesen egyszerűsítve az elkövetkező számításokat (lásd 15.7. feladat).

Az előző levezetés szemléletesen bemutatta a Gauss-eloszlásoknak azt az alaptulajdonságát, ami a Kalman-szűrés működését lehetővé teszi: azt a tényt, hogy az exponens négyzetes alakú. Ez nem csak az egyváltozós esetre igaz; a teljes többváltozós Gauss-eloszlás alakja:

A kitevőben lévő tényezők összeszorzása láthatóvá teszi, hogy a kitevő is négyzetes függvénye az x-ben lévő x_i valószínűségi változóknak. Ahogy az egyváltozós esetben, a szűrési frissítés megőrzi az állapoteloszlás gaussi voltát.

Elsőként definiáljuk a Kalman-szűrésnél használt általános időbeli modellt. Mind az állapotátmenet-modell, mind az érzékelő modell lineáris transzformációt enged meg additív Gauss-zajjal. Így azt kapjuk, hogy

P(xt+1|xt) = N(Fxt, Σx)(xt+1)

P(zt|xt) = N(Hxt, Σz)(zt) (15.19)

ahol az F és a Σ_x mátrixok a lineáris állapotátmenet-modellt és az átmeneti zaj kovarianciáját írják le, a H és a Σ_z pedig az érzékelő modell megfelelő mátrixai. Ekkor az átlag és a kovariancia frissítésének az egyenletei a maguk rémisztő valóságában:

μt+1 = Fμt + Kt+1(zt+1 – HFμt)

Σt+1 = (I – Kt+1)(FΣtF⊤ + Σx) (15.20)

ahol a K_t+1 = (FΣ_tF^⊤ + Σ_x)H^⊤(H(FΣ_tF^⊤ + Σ_x)H^⊤ + Σ_z)^-1 mennyiség neve a Kalman-erősítésmátrix (Kalman gain matrix). Akár hihető, akár nem, ezeknek az egyenleteknek lehetséges egy szemléletes értelmezése. Például, gondoljuk meg a μ állapotátlag-becslés frissítését. Az Fμ_t tag a t+1 időpontban előre jelzett állapot, így HFμ_t az előre jelzett megfigyelés. Ezért a z_t+1 – HFμ_t tag az előre jelzett megfigyelés hibáját reprezentálja. Ez van megszorozva a K_t+1 tényezővel az előre jelzett állapot korrigálásához; így a K_t+1 annak mértéke, hogy mennyire kell figyelembe venni az új megfigyelést az előrejelzéshez képest. Ahogyan a (15.18) egyenletben, az a tulajdonság most is fennáll, hogy a szórásnégyzet frissítése független a megfigyeléstől. A Σ_t és a K_t értékek sorozata ezért előre (offline) is kiszámolható, és a követés közben szükséges konkrét számítások igen mérsékeltek.

Hogy bemutassuk az egyenletek működését egy X–Y síkon mozgó tárgy követésének a problémájára alkalmaztuk őket. Az állapotváltozók az , így az F, Σ_x, H és Σ _z 4 × 4-es mátrixok. A 15.9. (a) ábrán látható az igazi pályagörbe, a zajos megfigyelések sorozata és a Kalman-szűréssel becsült pályagörbe végig a kovarianciával, amit az egységnyi szórás méretű körvonalak jeleznek. A szűrési folyamat jól teljesít az aktuális mozgás követésében, és ahogy várható, a szórásnégyzet gyorsan beáll egy rögzített értékre.

Ahogyan szűrésre, úgy simításra is származtathatók egyenletek lineáris Gauss-modell esetén. A simítás eredményei a 15.9. (b) ábrán láthatók. Vegyük észre, hogy a helyzetbecslés szórásnégyzete gyorsan lecsökken, a pályagörbe végét leszámítva (itt miért nem?), és hogy a simítással becsült pályagörbe sokkal egyenletesebb.

15.9. ábra - (a) A Kalman-szűrés eredménye egy X–Y síkon mozgó objektumnál, feltüntetve a valódi (balról jobbra haladó) pályagörbét, a zajos megfigyelések egy sorozatát és a Kalman-szűrés alapján becsült pályagörbét. A helybecslések szórásait az oválisok jelzik. (b) A Kalman-simítás eredménye ugyanarra a megfigyelési sorozatra.

A Kalman-szűrést és kiterjesztéseit alkalmazások széles körében használják. A „klaszszikus” alkalmazás légi járművek és rakéták radar követése. Kapcsolódó alkalmazások között van a tengeralattjárók és földi járművek akusztikai követése, és járművek és emberek képi követése. Egy kissé elvontabb szemlélettel a Kalman-szűrőket részecskék buborékkamrás pályagörbéjének rekonstrukciójára, valamint óceáni áramlások felszíni műholdképek alapján történő rekonstrukciójára használják. Az alkalmazások köre sokkal szélesebb, mint csupán mozgások követése: bármely rendszerre alkalmazható, ami folytonos állapotváltozókkal és zajos megfigyelésekkel jellemezhető. Ilyen rendszerek magukban foglalnak zúzdákat, vegyi üzemeket, nukleáris reaktorokat, növényi ökoszisztémákat és nemzetgazdaságokat.

A Kalman-szűrés alkalmazhatóságának ténye egy rendszerre nem jelenti, hogy az eredmények érvényesek vagy hasznosak lesznek. A feltevések – lineáris Gauss-féle állapotátmenet-modell és érzékelő modell – igen erősek. A kiterjesztett Kalman-szűrő (KKSZ) (extended Kalman filter, EKF) megpróbál úrrá lenni a modellezett rendszer nemlineáris tulajdonságain. Egy rendszer nemlineáris, ha az állapotátmenet-modell nem írható le, mint az állapotvektor mátrixszorzata, ahogyan ez a (15.19) egyenletben szerepel. A KKSZ úgy működik, hogy rendszert x_t-ben lokálisan lineárisként modellezi az x_t = μ_t környezetében, ahol μ_t a jelenlegi állapoteloszlás átlaga. Ez jól működik „sima”, „jó magaviseletű” rendszereknél, és lehetővé teszi a követőnek, hogy egy olyan Gauss-állapoteloszlást tartson nyilván és frissítsen, ami elfogadható közelítése az igazi a posteriori eloszlásnak.

Azonban mit is jelent, hogy egy rendszer „nem sima” vagy „rossz magaviseletű”? Technikailag ez azt jelenti, hogy jelentős nemlinearitás van jelen a rendszer viselkedésében abban a régióban, ami „közel” van a jelenlegi μ_t átlaghoz (a Σ_t kovarianciamátrix szerint). Ennek a tulajdonságnak a nem technikai megértéséhez gondoljunk arra a példára, amikor egy dzsungelben szálló madár követésével próbálkoztunk. A madár nagy sebességgel egyenesen egy fatörzs felé tart. A Kalman-szűrő, akár reguláris, akár kiterjesztett a madár pozíciójára, csak Gauss-előrejelzést adhat, és ennek a Gaussnak az átlaga a fatörzs közepére esik, ahogyan a 15.10. (a) ábrán látható. A madár egy elfogadható modellje azonban egy elkerülő műveletet jelezne előre egyik vagy másik oldalra, ahogy az a 15.10. (b) ábrán látható. Egy ilyen modell erősen nemlineáris, mivel a madár döntése nagyon eltérő a fatörzshöz vett pontos pozíciójának függvényében.

15.10. ábra - Egy fa felé repülő madár (felülnézetben). (a) Egy Kalman-szűrő előrejelzése a madár helyzetére, ami egyetlen Gauss-eloszlás az akadály közepére illesztve. (b) Egy valósághűbb modell számításba veszi a madár elkerülő manővereit, és azt jelzi előre, hogy az egyik vagy a másik oldalon fog elszállni.

Ilyen példák kezeléséhez nyilvánvalóan egy kifejezőbb nyelvre van szükségünk a modellezett rendszer viselkedésének a reprezentálásához. A szabályozáselmélet területén, ahol olyan problémák, mint például egy repülőgép elkerülő manőverezése ugyanilyen típusú bonyodalmakat vetnek fel, a megszokott megoldás a váltó Kalman-szűrő (switching Kalman filter). Ebben a megközelítésben, több Kalman-szűrő fut párhuzamosan, mindegyik a rendszer különböző modelljét használva – például egy az egyenes repülésre, egy az éles balra fordulásra és egy az éles jobbra fordulásra. Az előrejelzéseknek egy súlyozott összegét használjuk, ahol a súly attól függ, hogy mennyire illeszkednek az egyes szűrők az aktuális adatokhoz. A következő fejezetben látni fogjuk, hogy ez egyszerűen az általános dinamikus Bayes-háló modell egy speciális esete, amit a 15.7. ábrán látható hálóból egy diszkrét „manőver” állapotváltozó hozzáadásával nyerünk. A váltó Kalman-szűrőket a 15.5. feladat tárgyalja tovább.