A hiedelmi mértékeket mindig állításokhoz (propositions) rendeljük – amelyek ez és ez a helyzet típusú kijelentések. Az állítások leírására eddig két formális nyelvet – az ítéletlogikát és az elsőrendű logikát – használtuk. Ez az alfejezet egy olyan nyelvet ír le, amelyet a valószínűség-elmélet jellegzetesen használ, és amely valamelyest kifejezőbb az ítéletlogikánál. (A 14.6. alfejezet azokat a módszereket taglalja, amelyek megadják, hogy milyen hiedelmi mértékek tulajdoníthatók az elsőrendű logika egyes kijelentéseinek.)

A nyelv alapeleme a valószínűségi vagy véletlen változó (random variable), ami úgy tekinthető, mint ami egy kezdetben ismeretlen „állapotú” világ egy „részére” vonatkozik. Például a Lyuk a bal alsó bölcsességfogam esetleges lyukasságát mutatja. A véletlen változók a kényszerkielégítési problémáknál megismert CSP-változókhoz és az ítéletlogikánál használt ítéletszimbólumhoz hasonló szerepet játszanak.

A véletlen változókat mindig nagybetűvel kezdjük. (Ugyanakkor az ismeretlen véletlen változókat változatlanul kis- és egybetűs nevekkel fogjuk jelölni, például: P(a) = 1 – P(¬a).)

Minden valószínűségi változóhoz tartozik egy értéktartomány (domain), amelyből az értékeit veheti. Például a Lyuk tartománya az 〈igaz, hamis〉 lehetne.^[134] (Az értékeket kisbetűs nevekkel fogjuk jelölni.) Az állítások legegyszerűbb fajtája azt jelenti ki, hogy a valószínűségi változó valamilyen konkrét értéket vesz fel a tartományon belül. Például a Lyuk = igaz azt reprezentálja, hogy nekem valóban lyukas a bal alsó bölcsességfogam.

A véletlen változók – a CSP-változókhoz hasonlóan – tipikusan három csoportba sorolhatók a tartomány fajtájától függően:

Néhány kivételtől eltekintve, mi a diszkrét esetre fogunk koncentrálni.

Az összetett állítások létrehozásához az olyan elemi állítások, mint a Lyuk = igaz vagy a Fogfájás = hamis, bármely szokásos logikai kapcsolat felhasználásával kombinálhatók. Például a Lyuk = igaz ∧ Fogfájás = hamis egy olyan állítás, amelyhez valamilyen hihetőségi (hihetetlenségi) mértéket rendelhetünk. Ahogy az előző bekezdésben leírtuk, a fenti állítást úgy is jelölhetjük, hogy fogszuvasodás ∧ ¬fogfájás.

Az elemi esemény (atomic event) jelölés hasznos a valószínűség-elmélet alapjainak megértésében. Egy elemi esemény a világ – amely tekintetében az ágens bizonytalan – állapotának egy teljes leírását jelenti. Úgy is tekinthetjük, mint a világot alkotó összes változóhoz való konkrét érték hozzárendelését. Például, ha a világomat csak a Lyuk és a Fogfájás logikai változók alkotják, akkor pontosan négy különböző elemi esemény létezik; amelyek közül a Lyuk = hamis ∧ Fogfájás = igaz egy esemény.^[135]

Az elemi eseményeknek van néhány fontos tulajdonsága:

A 13.4. feladat a fenti tulajdonságok bizonyítását célozza.

Az a állításhoz tartozó feltétel nélküli (unconditional) vagy a priori valószínűség (prior probability) azt a meggyőződési mértéket jelenti, amely bármely más információ hiányában az állításhoz kapcsolható; jelölése P(a). Például ha 0,1 annak az a priori valószínűsége, hogy van lyukas fogam, akkor

P(Lyuk = igaz) = 0,1 vagy P(lyuk) = 0,1-et írhatunk.

Fontos megjegyeznünk, hogy P(a) csak akkor használható, ha nincs semmilyen más információ a birtokunkban. Amint ismertté válik valamilyen új információ, a továbbiakban már a adott új információ melletti feltételes valószínűségével kell következtetnünk. A feltételes valószínűségekkel a következő alfejezet foglalkozik.

Bizonyos esetekben előfordulhat, hogy beszélni szeretnénk egy véletlen változó összes lehetséges értékének valószínűségéről. Ilyen esetekben a P(Időjárás) kifejezés használható, amely az időjárás minden egyes állapotához rendelt valószínűségi értékekből képzett vektort jelöli. Következésképpen, ahelyett hogy az alábbi négy egyenletet írnánk le

P(Időjárás = napos) = 0,7

P(Időjárás = esős) = 0,2

P(Időjárás = felhős) = 0,08

P(Időjárás = havazik) = 0,02

elegendő egyszerűen azt írnunk, hogy

P(Időjárás) = 〈0,7, 0,2, 0,08, 0,02〉

Az ilyen kijelentés az Időjárás véletlen változó előzetes valószínűség-eloszlását (probability distribution) definiálja.

Olyan kifejezéseket is használni fogunk, mint a P(Időjárás, Lyuk), hogy egy véletlen változóhalmaz összes lehetséges kombinációjának valószínűségeit jelölni tudjuk.^[136] Ekkor a P(Időjárás, Lyuk) egy 4 × 2-es valószínűségi táblázatot jelent. Ez az Időjárás és Lyuk együttes valószínűség-eloszlása (joint probability distribution).

Hasznos lehet az is, ha világot leíró véletlen változók teljes halmazáról gondolkozunk. Az olyan együttes valószínűség-eloszlást, amely lefedi a teljes halmazt teljes együttes valószínűség-eloszlásnak (full joint probability distribution) nevezzük. Például, ha a világ csak a Lyuk, a Fogfájás és az Időjárás változókból áll, akkor a teljes együttes valószínűség-eloszlást a

P(Lyuk, Fogfájás, Időjárás)

adja meg. Ez az együttes valószínűség-eloszlás egy 16 elemű, 2 × 2 × 4-es táblázattal reprezentálható. A teljes együttes valószínűség-eloszlás minden egyes elemi esemény valószínűségét, és így a kérdéses világgal kapcsolatos összes bizonytalanságot meghatározza. A 13.4. alfejezetben látni fogjuk, hogy a teljes együttes valószínűség-eloszlás alapján bármely valószínűségi kérdés megválaszolható.

Folytonos változók esetén az eloszlás nem foglalható össze táblázatos formában, mivel a lehetséges értékek száma végtelen. Ehelyett annak valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó egy adott x értéket vesz fel, általában x egy paraméterezett függvényeként definiálható. Például az X véletlen változó jelölje a holnapi hőmérséklet maximumát Berkeleyben. Ezzel a

P(X = x) = U[18, 26](x)

kijelentés azt a hiedelmet fejezi ki, hogy X egyenletes eloszlást mutat 18 és 26 °C között. (Néhány hasznos folytonos valószínűségi változó definícióját az A) függelékben találjuk meg.) A folytonos valószínűségi változókra vonatkozó valószínűségi eloszlást valószínűség-sűrűségfüggvénynek (probability density function) nevezzük. A sűrűségfüggvények jelentése különbözik a diszkrét eloszlásokétól. Például a korábbiakban megadott hőmérsékleteloszlásból kiindulva P(X = 20,5) = U[18, 26](20,5) = 0,125/°C adódik. Ez nem azt jelenti, hogy annak az esélye, hogy a holnapi maximális hőmérséklet pontosan 20,5 °C lesz 12,5%; ennek a valószínűsége természetesen 0. Technikailag ez azt jelenti, hogy annak a valószínűsége, hogy a kérdéses hőmérséklet a 20,5 °C egy kicsiny környezetébe fog esni, határértékét tekintve egyenlő azzal, hogy a 0,125-öt elosztjuk a szakasz °C-ban megadott szélességével:

Néhány szerző a diszkrét eloszlások és a sűrűségfüggvények jelölésére más szimbólumot használ; mi P-vel fogjuk jelölni mindkettőt, mivel ritkán lehet ezeket összekeverni, és az egyenletek általában azonos formájúak. Jegyezzük meg ugyanakkor, hogy míg a valószínűségek mértékegység nélküli számok, a sűrűségfüggvényeknek van mértékegysége, a fenti példában 1/°C.

Amint az ágens bizonyos tények birtokába jut a korábban ismeretlen, a tartományra jellemző véletlen változóra vonatkozóan, az a priori valószínűségek többé nem használhatók. Ehelyett a feltételes (conditional) vagy a posteriori (posterior) valószínűségeket használhatjuk. Jelölése P(a∣b), ahol a és b tetszőleges állítás lehet.^[137] Értelmezése: a valószínűsége, ha b-t és csak b-t tudjuk. Például,

P(Lyuk∣Fogfájás) = 0,8

azt jelenti, hogy ha egy betegnél megfigyeltük, hogy fogfájása van, és semmilyen más információnk nincs vele kapcsolatban, akkor annak a valószínűsége, hogy szuvas a foga 0,8. Egy P(lyuk) típusú a priori valószínűség tekinthető a P(lyuk∣) feltételes valószínűség speciális esetének, ahol a feltételt a „semmi bizonyíték” jelenti.

A feltételes valószínűségek megadhatók feltétel nélküliek segítségével. A definíció

minden P(b) > 0 esetén igaz. Az egyenletet írhatjuk

P(a ∧ b) = P(a∣b)P(b)

alakban is, amelyet szorzatszabálynak (product rule) hívunk. A szorzatszabályt talán könnyebb megjegyezni: ez abból következik, hogy a és b együttes teljesüléséhez, szükséges, hogy b igaz legyen, valamint hogy a is igaz legyen b feltétele mellett. A szabályt megadhatjuk fordítva is:

P(a ∧ b) = P(b∣a)P(a)

Bizonyos esetekben könnyebb a konjunkciók feltétel nélküli (a priori) valószínűségeit használni, azonban mi az esetek többségében feltételes valószínűségeket fogunk alkalmazni valószínűségi következtetéseink eszközeként.

A P jelölést használhatjuk feltételes eloszlásokra is. P(X∣Y) a P(X = x_i∣Y = y_i) értékeit adja meg minden lehetséges i-re, j-re. Annak példájaként, hogy ez mennyivel tömörebbé teszi a jelölést, képzeljük el a szorzatszabály alkalmazását minden olyan esetre, ahol az a és b állítások X és Y bizonyos értékeit veszik fel. A következő egyenleteket fogjuk kapni:

P(X = x1 ∧ Y = y1) = P(X = x1∣Y = y1) = P(Y = y1)

P(X = x1 ∧ Y = y2) = P(X = x1∣Y = y2) = P(Y = y2)

Mindezt összefoglalhatjuk egyetlen egyenletben is:

P(X, Y) = P(X∣Y)P(Y)

Ne felejtsük, hogy ez egy olyan egyenlethalmaz jelölésére szolgál, amely kapcsolatba hozza a táblázatok megfelelő elemeit, és nem a táblázatok mátrix szorzásáról van szó. Csábító, de helytelen a feltételes valószínűségeket bizonytalansággal kiegészített logikai implikációkként tekinteni. Például a P(a∣b) = 0,8 állítást nem lehet úgy értelmezni, hogy amikor csak igaz b, P(a) 0,8-del egyenlő. Ez két okból is téves: először is P(a) mindig a előzetes valószínűségét, és nem a valamilyen tény megléte esetén alkalmazandó utólagos valószínűségét jelöli; másrészről pedig a P(a|b) = 0,8 csak akkor alkalmazható, ha b az egyetlen tény, amelynek birtokában vagyunk. Ha ismerünk egy további c információt is, akkor a hihetőségi mértékét P(a∣b ∧ c) fogja adni, amely akár független is lehet P(a∣b)-tól. Például c megadhatja közvetlenül azt is, hogy a igaz vagy hamis. Ha megvizsgálunk egy beteget, aki fogfájásra panaszkodik, és találunk egy lyukas fogat, akkor a további, lyuk információnak jutottunk birtokába, és így természetesen, arra a következtetésre fogunk jutni, hogy P(lyuk∣fogfájás ∧ lyuk) = 1,0.