Ez az alfejezet áttekintést nyújt a logikai reprezentáció és következtetés alapvető fogalmairól. A logika bármely speciális formájára vonatkozó technikai részletek bemutatását a következő fejezetre halasztjuk. Ehelyett egyszerű példákat fogunk használni a wumpus világból vagy ismerős aritmetikai területekről. Azért választjuk ezt az igen rendhagyó megközelítést, mivel a logika fogalmai messze általánosabbak és szebbek, mint azt általában feltételezik.

A 7.1. fejezetben említettük, hogy a tudásbázis mondatokból áll. Ezeket a mondatokat a reprezentációs nyelv szintaxisa (syntax) szerint fejezzük ki, amely specifikálja az összes jól formált, nyelvtanilag helyes mondatot. A szintaxis fogalma elég tiszta a szokásos aritmetikai műveleteknél: „x + y = 4” egy jól formált mondat, míg az „x2y + =” nem az. A logikai nyelvek szintaxisait (és a matematikáét is egyébként) rendszerint cikkek és könyvek írása céljából tervezték. A szó szoros értelmében tucatjai léteznek a különböző szintaxisoknak, néhány tele görög betűkkel és egzotikus matematikai szimbólumokkal, néhány inkább vizuálisan követhető, nyilakat és buborékokat tartalmazó diagramokból áll. Minden esetben azonban, az ágens tudásbázisában a mondatok az ágensnek magának vagy az ágens egy részének valódi fizikai konfigurációi. A következtetés ezeknek a konfigurációknak a létrehozását vagy manipulálását fogja jelenteni.

A logikának a nyelv szemantikáját (semantics) is definiálnia kell. Egyszerűen fogalmazva a szemantika a mondatok „jelentéséről” szól. A logikában a definíció pontosabb. A nyelv szemantikája definiálja minden mondat igazságát (truth) minden egyes lehetséges világra (possible world) vonatkozóan. Például egy szokásos aritmetikához választott szemantika meghatározza, hogy az „x + y = 4” mondat igaz abban a világban, ahol x értéke 2 és y értéke 2, de hamis abban a világban, ahol x értéke 1 és y értéke is 1.^[60] A standard logikákban minden mondat vagy igaz, vagy hamis minden lehetséges világban, és nem lehet „valahol az igaz és hamis között”^[61].

Amikor szükséges, hogy pontosak legyünk, a modell (model) kifejezést fogjuk használni a „lehetséges világ” helyén. (Szintén használni fogjuk az „m modellje α-nak” kifejezést, ami azt jelenti, hogy az α mondat igaz az m modellben.) Miután a lehetséges világokat úgy képzelhetjük el, mint (potenciálisan) valós környezeteket, amelyekben az ágens ott lehet vagy nem lehet ott, a modellek olyan matematikai absztrakciók, amelyek csak rögzítik az igazság vagy hamisság értékét minden releváns mondatnak. Például, tegyük fel, hogy x és y a férfiak és nők száma, akik egy kártyaasztal körül ülnek és bridzset játszanak, és az x + y = 4 mondat igaz, amikor négyen vannak összesen. Formálisan, a lehetséges modellek nem mások, mint minden lehetséges hozzárendelés az x és y változókhoz. Minden ilyen hozzárendelés bármely olyan aritmetikai mondat igazságát rögzíti, amely az x és y változókat tartalmazza.

Most, hogy van egy képünk az igazság fogalmáról, tudunk beszélni a logikai következtetésről. Ennek része a mondatok közötti logikai vonzat (entailment) reláció, annak kifejezése, hogy egy mondat logikusan következik egy másik mondatból. Matematikai jelöléssel ezt így írjuk:

α ⊨ β

aminek jelentése, hogy az α mondat maga után vonzza a β mondatot. A vonzat formális definíciója a következő: α ⊨ β akkor és csakis akkor, ha minden modellben, amelyben α igaz, β szintén igaz. Közvetlenebbül azt mondhatjuk, hogy β igazságát „tartalmazza” α igazsága. A vonzat reláció ismerős az aritmetikából is, örömmel vehetjük észre, hogy az x + y = 4 mondat maga után vonzza a 4 = x + y mondatot. Nyilvánvaló, hogy bármely modellben, ahol x + y = 4, mint például az a modell, amelyben x és y is 2 értékű, a 4 = x + y is fenn áll. Hamarosan látni fogjuk, hogy a tudásbázist tekinthetjük egy kijelentésnek, és gyakran beszélhetünk arról, hogy egy tudásbázis maga után vonz egy mondatot.

Alkalmazhatunk hasonló elemzést az előző részben bemutatott wumpus világbeli következtetési példára is. Tekintsük a 7.3. (b) ábrán látható szituációt: az ágens nem észlelt semmit az [1, 1]-ben és szellőt észlelt a [2, 1]-ben. Ezek az érzetek, kombinálva az ágensnek a wumpus világ szabályaira vonatkozó tudásával (7.1. szakasz - A tudásbázisú ágens részben található TKCSÉ-leírás), alkotja a TB-t. Az ágenst (más dolgok mellett) az érdekli, hogy vajon a szomszédos [1, 2], [2, 2], [3, 1] négyzetek tartalmaznak-e csapdát. Bármelyik a három négyzet közül tartalmazhat vagy éppen nem tartalmaz csapdát, így a példa esetében 2³ = 8 lehetséges modell létezik. Ezt mutatja a 7.5. ábra.^[62]

A TB hamis azokban a modellekben, amelyek ellentmondanak annak, amit az ágens tud. Például a TB hamis minden modellben, ahol az [1, 2] tartalmaz csapdát, mivel nincs szellő az [1, 1]-ben. Valójában csak három olyan modell van, amelyben a TB igaz, ezeket a 7.5. ábra a modellek egy részhalmazaként mutatja. Most tekintsünk két lehetséges következményt:

α1 = „Nincs csapda az [1, 2]-ben”

α2 = „Nincs csapda a [2, 2]-ben”

A 7.5. ábrán megjelöltük az α ₁ és α ₂ modelleket. Szemrevételezve megállapíthatjuk a következőt:

minden olyan modellben, ahol a TB igaz, ott α₁ is igaz.

Így TB ⊭ α₁, és nincs csapda az [1, 2]-ben. Azt is láthatjuk, hogy:

néhány modell, amelyben a TB igaz, az α₂ hamis.

Így TB ⊭ α₂ és az ágens nem tudja kikövetkeztetni, hogy nincs csapda a [2, 2]-ben. (És azt sem tudja kikövetkeztetni, hogy van csapda a [2, 2]-ben.)^[63]

Az előző példa nem csak illusztrálja a maga után vonzást, hanem megmutatja, hogy a vonzat definícióját fel lehet használni a következmények levezetésére, azaz, hogy logikai következtetést (logical inference) végezzünk. A 7.5. ábrán illusztrált következtetési algoritmust modellellenőrzésnek (model checking) hívjuk, mivel számba vesz minden lehetséges modellt annak megvizsgálására, hogy α igaz-e minden modellben, amelyben a TB igaz.

7.5. ábra - Lehetséges modelljei a csapda jelenlétének az [1, 2], [2, 2] és [3, 1]-ben, ha adott a megfigyelés, hogy az [1, 1]-ben semmi és a [2, 1]-ben szellő érezhető. (a) A tudásbázis és α1(nincs csapda[1, 2]-ben) modelljei. (b) A tudásbázis és α2(nincs csapda[2, 2]-ben) modelljei.

A vonzat és a bizonyítás megértésében segíthet, ha a TB összes következményeit egy szénakazalnak, az α-t pedig egy gombostűnek képzeljük el. A vonzat olyan, mintha a gombostű benne volna a kazalban; a bizonyítás pedig nem más, mint megpróbálni megtalálni ezt a tűt. Ez a különbségtétel formálisan a következő megfogalmazásban ölt testet: ha egy i következtetési algoritmus képes levezetni α-t a TB-ből, akkor írhatjuk, hogy

TB ⊦iα

amely kimondva: „α az i által levezethető TB-ből” vagy „i levezeti α-t a TB-ből”.

Egy következtetési eljárást, amely csak vonzat mondatokat vezet le, helyesnek (sound) vagy igazságtartónak (truth-preserving) nevezzük. A helyesség egy igencsak kívánatos tulajdonság. Egy nem helyes következtetési eljárás kitalál olyan dolgokat ahogy előrehalad, olyan tűk megtalálását jelenti be, amelyek nem is léteznek. Egyszerű belátni, hogy a modellellenőrzés, ha alkalmazható,^[64] akkor helyes eljárás.

A teljesség (completeness) tulajdonság szintén kívánatos: egy következtetési eljárás teljes, ha képes levezetni minden vonzatmondatot. Valódi szénakazlak esetében, amelyek véges méretűek, nyilvánvalónak tűnik, hogy szisztematikus kutatással mindig eldönthető, hogy a tű a kazalban van-e. Sok tudásbázis esetében azonban a konzekvenciák szénakazlának mérete végtelen, és így a teljesség egy fontos kérdéssé válik.^[65] Szerencsére léteznek teljes következtetési eljárások a logikához, amelyek megfelelően kifejezők ahhoz, hogy számos tudásbázist kezeljenek.

7.6. ábra - A mondatok az ágens fizikai konfigurációi, és a következtetés az a folyamat, amely új fizikai konfigurációkat hoz létre régiekből. A logikai következtetésnek biztosítania kell, hogy az új konfigurációk olyan aspektusait reprezentálják a világnak, amelyek ténylegesen is következnek azokból az aspektusokból, amelyeket a régi konfigurációk reprezentálnak.